Question

如图，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB引垂线PQ，延长QP与AC延长线交于R．
（1）设BP=x（0≤x≤1），△BPQ与△CPR的面积之和y，把y表示为自变量x的函数；
（2）求y的最大值、最小值及这时x的值（包括△BPQ和△CPR面积为零的情况）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）设BP=x，则PC=1-x，根据S_三角形=

1

2

absinC，可分别表示出△BPQ与△CPR的面积，继而可得出y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的关系式，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）设BP=x，则PC=1-x，
在Rt△PBQ中，∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BQ=

1

2

BP=

1

2

x，
∴AQ=1-

1

2

x，
在Rt△AQR中，∠A=60°，
∴∠R=30°，
∴AR=2AQ=2（1-

1

2

x）=2-x，BC=AR-AC=1-x，
∴CR=2-x-1=1-x，
∴y=S_△BPQ+S_△CPR=

1

2

×BP×BQ×sin∠B++

1

2

CP×CR×sin∠PCR=

1

2

×

1

2

x×x×sin60°+

1

2

（1-x）²sin120°
=

3 3

8

x²-

3

2

x+

3

4

（0≤x≤1）．

（2）由（1）得y=

3 3

8

x²-

3

2

x+

3

4

=

3 3

8

（x-

2

3

）2+

3

12

（0≤x≤1），
∵

3 3

8

＞0，
∴当x=

2

3

时，y有最小值

3

12

；
当x=0时，y有最大值

3

4

．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了三角形的面积、解直角三角形及配方法求二次函数最值的知识，综合考察的知识点较多，解答此类综合性题目需要扎实的基本功，将所学知识融会贯通．