题目内容
某“研究性学习小组”遇到了以下问题，请参与：
已知，△ABC是等边三角形且内接于⊙O，取
上异于A、B的点M．设直线CA与BM相交于点K，直线CB与AM相交于点N．
（1）如图1，图2，图3，M分别为
的中点、三分之一点、四分之一点，△ABC的边长均为2，分别测量出AK、BN的长，计算AK•BN的值（精确到0.01）并将结果填入下表中：
（2）如图4，当M为
上任意一点时，根据（1）的结果，猜想AK•BN与AB的数量关系式为______；
（3）对（2）中提出的猜想，依图4给出证明．
已知，△ABC是等边三角形且内接于⊙O，取
 |
| AB |
（1）如图1，图2，图3，M分别为
|
| AB |
| △ABC的边长 | AK•BN的值 | |
| 图1 | 2 | |
| 图2 | 2 | |
| 图3 | 2 |
|
| AB |
（3）对（2）中提出的猜想，依图4给出证明．
（1）4，4，4
（2）AK•BN=AB2
（3）∵∠ABM+∠BAM=∠AMK=∠C=60°，∠BAM+∠N=60°
∴∠ABM=∠N
∵∠KAB=∠NBA=120°
∴△AKB∽△BAN
∴
=
∴AK•BN=AB2．
（2）AK•BN=AB2
（3）∵∠ABM+∠BAM=∠AMK=∠C=60°，∠BAM+∠N=60°
∴∠ABM=∠N
∵∠KAB=∠NBA=120°
∴△AKB∽△BAN
∴
| AK |
| AB |
| AB |
| BN |
∴AK•BN=AB2．
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