题目内容
【题目】(1)如图,已知在△ABC中,∠BAC=40°,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE所在直线交于点F,求∠BFC的度数;
(2)在(1)的基础上,若∠BAC每秒扩大10°,且在变化过程中∠ABC与∠ACB始终保持是锐角,经过t秒(0<t<14),在∠BFC,∠BAC这两个角中,当一个为另一个的两倍时,求t的值;
(3)在(2)的基础上,∠ABD与∠ACE的角平分线交于点G,∠BGC是否为定值,如果是,请直接写出∠BGC的值,如果不是,请写出∠BGC是如何变化的.
【答案】(1)140°;(2)t=2或8;(3)∠BGC是定值,为90°.
【解析】
(1)利用钝角的余角相等,证明∠CFD=∠A即可解决问题.
(2)由题意∠A=40°+10°×t,∠BFC=180°﹣∠A=140°﹣10°×t.分两种情形:①当0<t<5时,∠BFC=2∠A.②当5<t<14时,∠A=2∠BFC,分别构建方程求解即可.
(3)如图,结论∠BGC是定值.想办法证明∠G=∠A+∠ABG+∠ACG,∠ABG+∠ACG=∠ABD即可解决问题.
解:(1)∵BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,
∴∠AEC=∠BDC=90°,
∴∠A+∠ACE=90°,∠ACE+∠CFD=90°,
∴∠CFD=∠A
∴∠BFC=180°﹣∠DFC=180°﹣∠A=140°.
(2)由题意∠A=40°+10°×t,∠BFC=180°﹣∠A=140°﹣10°×t.
①当0<t<5时,∠BFC=2∠A,则有140﹣10t=2(40+10t),
解得t=2.
②当5<t<14时,∠A=2∠BFC,
∴40+10t=2(140﹣10t),
解得t=8,
综上所述,当t=2或8时,∠BFC,∠A两个角中,一个角是另一个角的两倍.
(3)如图,结论∠BGC是定值.
理由:∵BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,
∴∠AEC=∠ADB=90°,
∴∠A+∠ABD=90°,∠A+∠ACE=90°,
∴∠ABD=∠ACE,
∵BG平分∠ABD,CG平分∠ACB,
∠ABG=∠ABD,∠ACG=
∠ACE,
∴∠ABG+∠ACG=(∠ABD+∠ACE)=∠ABD,
∵∠A+∠ABG+∠GBC+∠GCB+∠ACG=180°,∠G+∠GBC+∠GCB=180°,
∴∠G=∠A+∠ABG+∠ACG=∠A+∠ABD=90°,
∴∠BGC是定值.

【题目】在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50个,这些球除颜色外其余完全相同.王颖做摸球试验,搅匀后,她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后,再把球放回盒子中,不断重复上述过程,下表是试验中的一组统计数据:
摸球的次数 | 100 | 200 | 300 | 500 | 800 | 1000 | 3000 |
摸到白球的次数 | 65 | 124 | 178 | 302 | 480 | 601 | 1800 |
摸到白球的频率 |
(1)若从盒子里随机摸出一个球,则摸到白球的概率的估计值为______.
(2)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个?