题目内容
【题目】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点E作EF∥AB，交边BC于点F．联结DE、DF，设CE=x．
（1）当x =1时，求△DEF的面积；
（2）如果点D关于EF的对称点为D’，点D’ 恰好落在边AC上时，求x的值；
（3）以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
（1）过点
作
，由EF∥AB得EM为△DEF边EF上的高，通过计算求出EF、EM即可求出△DEF面积；
（2）过点作
，垂足为点
，设
与
相交于点
，根据对称性知
，
，分别在Rt△AD D’和Rt△AEN中解直角三角形即可解得x值；
（3）
与
相交于点
，在Rt△CEF中，用x表示出AF，利用EF∥AB得
，用x表示出AG，再用两圆相交的性质知AF⊥DE，进而证得
即
，代入数值即可得关于x的方程，解之即可解得x值．
解：（1）如图1，过点作，垂足为点
.
在
中，
，
，
，
，
.
，，
.
在
中，
，，
，
.
，
. 又，
.
.
（2）如图2，过点作，垂足为点，设与相交于点.
、
关于对称，
，.
. 
，
.
在
中，
，
，
，
.
.
，，
，
.
在
中，
，，
，
，
.
（3）如图3，设与相交于点.
在
中，
，
，
，
，
. 
.
，
. 
，
，
.
.
圆
和圆
相交，另一个交点H恰好在DE上，
. 
.
，
，
.
. 
.
解得
（舍去），
.
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