Question

【题目】若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．

①求证：△ABC∽△DCA；②求证：△ABC是比例三角形；

（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求出的值．

Answer 1

【答案】（1）AC＝或或；（2）①见解析；②见解析；（3）＝．

【解析】

（1）根据比例三角形的定义分AB2＝BCAC、BC2＝ABAC、AC2＝ABBC三种情况分别代入计算可得；

（2）①先判断出∠ACB＝∠CAD，得出△ABC∽△DCA；

②由△ABC∽△DCA得出CA2＝BCAD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD即可得；

（3）作AH⊥BD，由AB＝AD知，BH＝BD，再证△ABH∽△DBC得ABBC＝BHDB，即ABBC＝BD2，结合ABBC＝AC2推出BD2＝AC2，据此可得答案．

解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，

①当AB2＝BCAC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；

②当BC2＝ABAC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；

③当AC2＝ABBC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值舍去）；

所以当AC＝或或时，△ABC是比例三角形；

（2）①∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠CAD，

又∵∠BAC＝∠ADC，

∴△ABC∽△DCA，

②由①知，△ABC∽△DCA，

∴，即CA2＝BCAD，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AB＝AD，

∴CA2＝BCAB，

∴△ABC是比例三角形；

（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，

∵AB＝AD，

∴BH＝BD，

∵AD∥BC，∠ADC＝90°，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BHA＝∠BCD＝90°，

又∵∠ABH＝∠DBC，

∴△ABH∽△DBC，

∴，即ABBC＝BHDB，

∴ABBC＝BD2，

又∵ABBC＝AC2，

∴BD2＝AC2，

∴＝．