Question

OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．
（1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕y₁所在直线的解析式；
（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E'．
①求折痕AD所在直线的解析式；
②再作E'F∥AB，交AD于点F．若抛物线y=-

1

12

x²+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数．
（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点D'、G'，使纸片沿D'G'翻折后，点O落在BC边上，记为E''．请你猜想：折痕D'G'所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想．

Answer 1

（1）由折叠法知，四边形OCEG是正方形，
∴OG=OC=6，
∴G（6，0），C（0，6）．
设直线CG的解析式为y=kx+b，
则0=6k+b，6=0+b，
∴k=-1，b=6，
∴直线CG的解析式为：y=-x+6．

（2）①在Rt△ABE'中，BE'=

102-62

=8，
∴CE′=2．
设OD=s，则DE'=s，CD=6-s，
在Rt△DCE'中，s²=（6-s）²+2²，
∴s=

10

3

．
则D（0，

10

3

）
设AD：y=k'x+

10

3

，
由于它过A（10，0），
∴k'=-

1

3

，
∴AD：y=-

1

3

x+

10

3

．
②∵E'F∥AB，E'（2，6），
∴设F（2，y_F），
∵F在AD上，
∴y_F=-

1

3

×2+

10

3

=

8

3

，
∴F（2，

8

3

）．
又∵点F在抛物线y=-

1

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x²+h上，
∴

8

3

=-

1

12

×4+h，
∴h=3．
∴抛物线的解析式为：y=-

1

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x²+3．
即-

1

12

x²+

1

3

x-

1

3

=0，
∵△=（

1

3

）²-4×（-

1

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）×（-

1

3

）=0
∴直线AD与抛物线只有一个交点．

（3）例如可以猜想：
（ⅰ）折痕所在直线与抛物线y=-

1

12

x²+3只有一个交点；
或（ⅱ）若作E''F''∥AB，交D'G'于F'，则F'在抛物线y=-

1

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x²+3上．
验证：（ⅰ）在图1中，折痕为CG，
将y=-x+6代入y=-

1

12

x²+3，
得-

1

12

x²+x-3=0．
∵△=1-4×（-3）×（-

1

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）=0，
∴折痕CG所在直线的确与抛物线y=-

1

12

x²+3只有一个交点．
或（ⅱ）在图1中，D'即C，E''即E，G'即G，交点F'也为G（6，0），
∴当x=6时，y=-

1

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x²+3=-

1

12

×6²+3=0，
∴G点在这条抛物线上．