题目内容

如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=-
1
2
x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=-
1
2
x2+bx+c交于第四象限的F点．
（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒
13
2
个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．
（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）
∴C点坐标为（0，3）
∵抛物线y=-
1
2
x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，
∴
c=3
-8+4b+c=3
，
解得：
c=3
b=2
，
∴该抛物线解析式y=-
1
2
x2+2x+3，
设直线AD的解析式为y=k1x+b1
∵A（4，0）、D（2，3），
∴
4k1+b1=0
2k1+b1=3
∴
k1=-
3
2
b1=6
，
∴y=-
3
2
x+6，
联立
y=-
3
2
x+6
y=-
1
2
x2+2x+3
，
∵F点在第四象限，
∴F（6，-3）；
（2）①∵E（0，6），∴CE=CO，（如图（1）），
连接CF交x轴于H′，过H′作BC的垂线交BC于P′，当P
运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小．
设直线CF的解析式为y=k2x+b2
∵C（0，3）、F（6，-3），
∴
b2=3
6k2+b2=-3
，
解得：
k2=-1
b2=3
，
∴y=-x+3
当y=0时，x=3，
∴H′（3，0），
∴CP=3，∴t=3；
②如图1过M作MN⊥OA交OA于N，
∵△AMN∽△AEO，
∴
AM
AE
=
AN
AO
=
MN
EO
，
∴
13
2
t
2
13
=
AN
4
=
MN
6
，
∴AN=t，MN=
3
2
t，
I如图3，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，
∴MN=
1
2
PH，
∴MN=
3
2
t=
3
2
，
∴t=1；
II如图2，当PM=HP时，MH=3，MN=
3
2
t，
HN=OA-AN-OH=4-2t在Rt△HMN中，MN2+HN2=MH2，
∴(
3
2
t)2+(4-2t)2=32，
即25t2-64t+28=0，
解得：t1=2（舍去），t2=
14
25
；
III如图4，当PH=PM时，
∵PM=3，MT=|3-
3
2
t|，PT=BC-CP-BT=|4-2t|，
∴在Rt△PMT中，MT2+PT2=PM2，
即(3-
3
2
t)2+(4-2t)2=32，
∴25t2-100t+64=0，
解得：t1=
16
5
，t2=
4
5

综上所述：t=
14
25
，
4
5
，1，
16
5
．
练习册系列答案
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二次函数y=-x2+kx+3的图象与x轴交于点（3，0）
（1）求函数的解析式；
（2）画出这个函数的图象．
已知：如图，点A在y轴上，⊙A与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D（0，3）和点E（0，-1）
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x2+
2
3
x+
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3
，则该运动员此次掷铅球的成绩是______m．
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销售单价x（元/件）…30405060…
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