题目内容
如图,在直角坐标系中,⊙A的半径为4,A的坐标为(2,0),⊙A与x轴交于E、F两点,与y轴交于C、D两点,过C点作⊙A的切线BC交x轴于B.
(1)求直线BC的解析式;
(2)若一抛物线与x轴的交点恰为⊙A与x轴的两个交点,且抛物线的顶点在直线上y=
x+2
上,求此抛物线的解析式;
(3)试判断点C是否在抛物线上,并说明理由.
(1)求直线BC的解析式;
(2)若一抛物线与x轴的交点恰为⊙A与x轴的两个交点,且抛物线的顶点在直线上y=
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(3)试判断点C是否在抛物线上,并说明理由.
(1)连接AC,因为BC为⊙A的切线,
则AC=4,OA=2,∠ACB=90°
又因为∠AOC=90°,
所以∠OCA=30°,∠A=60°,∠B=30度.
所以OC=OA•tan60°=2
,OB=OC•cot30°=2
×
=6,
所以B(-6,0),C(0,2
).
设直线BC的解析式为y=kx+2
,
则0=-6k+2
解得k=
,
所以y=
x+2
.
(2)因为AE=4,OA=2,
所以OE=2,OF=6,
则E(-2,0),F(6,0).
设抛物线的解析式是y=(9x+2)(x-6),
则y=a(x-2)2-16a,
所以顶点坐标是(2,-16a).
因为(2,-16a)在直线y=
x+2
上,
所以-16a=
+2
,a=-
.
所以y=-
x2+
x+2
.
(3)当x=0时,y=2
.故点C在抛物线上.
则AC=4,OA=2,∠ACB=90°
又因为∠AOC=90°,
所以∠OCA=30°,∠A=60°,∠B=30度.
所以OC=OA•tan60°=2
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所以B(-6,0),C(0,2
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设直线BC的解析式为y=kx+2
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则0=-6k+2
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解得k=
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所以y=
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(2)因为AE=4,OA=2,
所以OE=2,OF=6,
则E(-2,0),F(6,0).
设抛物线的解析式是y=(9x+2)(x-6),
则y=a(x-2)2-16a,
所以顶点坐标是(2,-16a).
因为(2,-16a)在直线y=
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所以-16a=
2
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所以y=-
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(3)当x=0时,y=2
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