Question

如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90⁰，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．

①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30⁰，求∠BDC的度数．

Answer 1

①见解析②75⁰

解：①证明：∵∠ABC=90⁰，D为AB延长线上一点，∴∠ABE=∠CBD=90°。
在△ABE和△CBD中，∵,
∴△ABE≌△CBD（SAS）。
②∵AB=CB，∠ABC=90⁰，∴∠CAB=45^0。
∵∠CAE=30⁰，∴∠BAE=∠CAB－∠CAE=45°－30⁰=15⁰。
∵△ABE≌△CBD，∴∠BCD=∠BAE=15⁰。
∴∠BDC=90⁰－∠BCD=90⁰－15⁰=75⁰。
①求出∠ABE=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBD全等即可。
②先根据等腰直角三角形的锐角都是45°求出∠CAB，再求出∠BAE，然后根据全等三角形对应角相等求出∠BCD，再根据直角三角形两锐角互余其解即可。