Question

如图，在ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．

（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论。
（2）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，∠1=∠2；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF。

分析：（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论。
（2）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，∠1=∠2；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF。
解：（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。

又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF。∴∠1=∠2。
∵点E是AB边的中点，∴AE=BE，
∵在△ADE与△BFE中，，
∴△ADE≌△BFE（AAS）。
（2）CE⊥DF。理由如下：
如图，连接CE，
由（1）知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2。
∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠3。∴∠3=∠2。
∴CD=CF。∴CE⊥DF。