题目内容

【题目】已知:平面直角坐标系中,点A(a,b)的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16=0.

(1)如图1,求证:OA是第一象限的角平分线;

(2)如图2,过A作OA的垂线,交x轴正半轴于点B,点M、N分别从O、A两点同时出发,在线段OA上以相同的速度相向运动(不包括点O和点A),过A作AE⊥BM交x轴于点E,连BM、NE,猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系,并证明你的猜想;

(3)如图3,F是y轴正半轴上一个动点,连接FA,过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E,连接EF,过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H,过点H作HK⊥x轴于点K,求2HK+EF的值.

【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)8

【解析】

(1)过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为M、N,则AN=AM,

根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论;

(2)如图2,AAH平分∠OAB,交BM于点H,则△AOE≌△BAH,可得AH=OE,由已知条件可知ON=AM,MOE=MAH,可得△ONE≌△AMH,ABH=OAE,BMNE交于K,则∠MKN=180°﹣2ONE=90°﹣NEA,2ONE﹣NEA=90°;

(3)如图3,HHMOF,HNEFM、N,可证△FMH≌△FNH,FM=FN,同理:NE=EK,先得出OE+OF﹣EF=2HK,再由△APF≌△AQEPF=EQ,即可得OE+OF=2OP=8,等量代换即可得2HK+EF的值.

解:(1)|a﹣b|+b2﹣8b+16=0

|a﹣b|+(b﹣4)2=0

|a﹣b|≥0,(b﹣4)2≥0

|a﹣b|=0,(b﹣4)2=0

a=b=4

过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为M、N,则AN=AM

OA平分∠MON

OA是第一象限的角平分线

(2)过AAH平分∠OAB,交BM于点H

∴∠OAH=HAB=45°

BMAE

∴∠ABH=OAE

在△AOE与△BAH

∴△AOE≌△BAH(ASA)

AH=OE

在△ONE和△AMH

∴△ONE≌△AMH(SAS)

∴∠AMH=ONE

BMNE交于K

∴∠MKN=180°﹣2ONE=90°﹣NEA

2ONE﹣NEA=90°

(3)过HHMOF,HNEFM、N

可证:△FMH≌△FNH(SAS)

FM=FN

同理:NE=EK

OE+OF﹣EF=2HK

AAPy轴于P,AQx轴于Q

可证:△APF≌△AQE(SAS)

PF=EQ

OE+OF=2OP=8

2HK+EF=OE+OF=8

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