题目内容
【题目】综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为
的正方形
，点
从对角线
的点
出发向点
运动，连接
并延长至点
，使
，以
为边在右侧作正方形
，边
与射线
交于点
.
操作发现
（1）点在运动过程中，判断线段
与线段
之间的数量关系，并说明理由；
实践探究
（2）在点的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形
的面积是
，求此时
的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点不与点，重合时，线段，
与
之间存在的数量关系，请直接写出.
【答案】（1）
，理由见解析；（2）
；（3）①当
时，
；②当
时，
且点
与点
重合；③当
时，
【解析】
（1）首先由正方形的性质得出
，
，
，然后判定
，进而得出
，
，又由正方形EFGH得出
，再由四边形内角和得出
，进而得出
，
；
（2）首先过点
作
于点
，作
于点
，得出
，然后由对角线的性质得出
，
，进而判定四边形
是正方形，即可判定
，然后通过面积的等量代换得出CE，进而得出AE.
（3）根据题意，分三种情况讨论即可：①当时，②当时，③当时.
（1）.
理由如下：如图，连接
.
∵
是正方形
的对角线，
∴，，.
在
和
中，
∴.
∴，.
∵四边形
是正方形，
∴.
在四边形
中，
.
∵
，
∴.
∴.
∴.
（2）如图，过点作于点，作于点.
∴.
∵点是正方形的对角线上的点，
∴，.
∴四边形是正方形.
在
和
中，
∴.
∴
.
∴
.
∵正方形与正方形重叠的面积是
，
∴
.解得
.
∵正方形的边长为6，
∴
.
∴
.
∴此时
的长为.
（3）分三种情况：
①当时，；
②当时，且点与点重合；
③当时，.
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【题目】某厂按用户需求生产一种产品，成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元。经市场调查，每年的销售量y（件）与每件售价x（万元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
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（2）设商品每年的总利润为W（万元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少？
