题目内容
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底边QR=6cm,点B、C、Q、R在同一直线l上,且C、Q两点重合,如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动,t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米.
(1)当t=4时,求S的值;
(2)当4≤t≤10,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
(1)当t=4时,求S的值;
(2)当4≤t≤10,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
(1)当t=4时,CQ=4cm,
过点A作AE⊥BC于E,过点D作DF⊥BC于F,
∵AE=DF=
cm,∠AEB=∠DFC=90°,AB=CD,
∴△ABE≌△DFC,
∴BE=CF,
∵EF=AD=2cm,BC=4cm,
∴BE=CF=1cm,
∴点D与点P重合,
∴S△BDC=
BC•DF=
×4×
=2
(cm2);
(2)当4≤t<6时,P在线段AD上,作KH⊥QH,过点M作MN⊥BC于N,
∵∠Q=30°,∠1=60°,
∴∠2=∠1-∠Q=30°,
∠3=∠2=30°,
∴QB=BM=QC-BC=t-4,
∵∠R=∠Q=30°,∠DCB=∠ABC=60°,
∴∠CKR=∠DCB-∠R=30°=∠R,
∴KC=CR=6-t,
∴HK=KC•sin60°=
(6-t)
∴同理:MN=
(t-4),
∴S=S△PQR-S△BQM-S△CRK=
QR•PG-
BQ•MN-
CR•KH
=
×6×
-
×
(t-4)2-
×
(6-t)2=-
t2+5
t-10
,
∵a=-
<0,开口向下,
∴S有最大值,
当t=-
=5时,S最大值为
;
当6≤t≤10时,P在线段DA的延长线上,
∵∠1=60°,∠2=30°,
∴∠3=90°
∴RC=t-6,BR=4-RC=4-(t-6)=10-t,
∴TB=
BR=
,TR=
BR=
(10-t),
∴S=
TB•TR=
×
×
(10-t)=
t2-
t+
,
当a>0时,开口向上,-
=10,
∴t=6时,S最大值为2
;
综上,t=5时,S最大值为
.
过点A作AE⊥BC于E,过点D作DF⊥BC于F,
∵AE=DF=
3 |
∴△ABE≌△DFC,
∴BE=CF,
∵EF=AD=2cm,BC=4cm,
∴BE=CF=1cm,
∴点D与点P重合,
∴S△BDC=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
(2)当4≤t<6时,P在线段AD上,作KH⊥QH,过点M作MN⊥BC于N,
∵∠Q=30°,∠1=60°,
∴∠2=∠1-∠Q=30°,
∠3=∠2=30°,
∴QB=BM=QC-BC=t-4,
∵∠R=∠Q=30°,∠DCB=∠ABC=60°,
∴∠CKR=∠DCB-∠R=30°=∠R,
∴KC=CR=6-t,
∴HK=KC•sin60°=
| ||
2 |
∴同理:MN=
| ||
2 |
∴S=S△PQR-S△BQM-S△CRK=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
| ||
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
3 |
3 |
∵a=-
| ||
2 |
∴S有最大值,
当t=-
5
| ||||
2×(-
|
5
| ||
2 |
当6≤t≤10时,P在线段DA的延长线上,
∵∠1=60°,∠2=30°,
∴∠3=90°
∴RC=t-6,BR=4-RC=4-(t-6)=10-t,
∴TB=
1 |
2 |
10-t |
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
∴S=
1 |
2 |
1 |
2 |
10-t |
2 |
| ||
2 |
| ||
8 |
5
| ||
2 |
25
| ||
2 |
当a>0时,开口向上,-
b |
2a |
∴t=6时,S最大值为2
3 |
综上,t=5时,S最大值为
5
| ||
2 |
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