Question

【题目】问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE＝1；BF＝2．

（1）如图①，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为_____；

（2）如图②，P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小值；

问题解决：（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，在农田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号）

Answer 1

【答案】（1）；（2）EP+PM+MF的最小值是7；（3）km

【解析】

（1）利用轴对称方法求最短路线，作点关于直线的对称点或作点关于直线的对称点，连接交于，则即为最小值；

（2）由于PM是定值，可以通过平移点的方式将问题转化为问题一，再通过对称求最短路线；

（3）由于农田的宽度一定，故可将M点延AB的垂直方向移动农田的宽度到，将问题转化为两点之间线段最短问题即可，作，并在上截取（农田的宽度），连接交于，作于，连接，，则即为最短路线．

解：（1）如图①，延长至，使，连接，过作于，

矩形，

，

，

当，，三点共线时，最小，即最小；

由勾股定理得：，

故答案为；

（2）如图②，延长至，使，在下方作，在上截取，连接交于，在上截取，连接，，

矩形

，即，

，

四边形是平行四边形，

，，三点共线，

为最小值，

即为最小值．

（3）如图③，过作于，过作于，作交于，交于，

在上截取，连接交于，作交于，连接，

，

，

四边形是平行四边形，

由题意知，，，，，，

在△中，，

最短线路长度为．