Question

如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边AB上一点（不与A、B重合），F是边BC上一点（不与B、C重合）．若△DEF和△BEF是相似三角形，则CF=______．

Answer 1

①如图1，∠DEF=90°时，设AE=x，则BE=4-x，
易求△ADE∽△BEF，
∴

AD

BE

=

DE

EF

，
即

3

4-x

=

DE

EF

，
∵△DEF和△BEF是相似三角形，
∴△DEF和△ADE是相似三角形，
∴

DE

EF

=

AD

BE

或

DE

EF

=

BE

AD

，
∴

3

4-x

=

3

x

或

3

4-x

=

x

3

，
整理得，6x=12或x²-4x+9=0（无解），
解得x=2，
∴BE=4-2=2，

3

2

=

2

BF

，
解得BF=

4

3

，
CF=3-

4

3

=

5

3

；

②如图2，∠DFE=90°时，设CF=x，则BF=3-x，
易求△BEF∽△CFD，
∴

DC

BF

=

DF

EF

，
即

4

3-x

=

DF

EF

，
∵△DEF和△BEF是相似三角形，
∴△DEF和△DCF是相似三角形，
∴

DE

EF

=

DC

CF

或

DE

EF

=

CF

DC

，
即

4

3-x

=

4

x

或

4

3-x

=

x

4

，
整理得，8x=12或x²-3x+16=0（无解），
解得x=

3

2

；
综上所述，CF的值为

5

3

或

3

2

．
故答案为：

5

3

或

3

2

．