Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．

（1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式；

（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；

（3）如果∠OAC=135°，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）m的值为2

【解析】

（1）先求出m=1时点A的坐标，进而可得到这条“子抛物线”的解析式；

（2）先根据A点坐标求出“子抛物线”的解析式和AB,OB的长度，然后令x = 0求出y值即可得到C点坐标，进而可求出BC的长度，最后利用即可求解；

（3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F, 首先证明△AED≌△DFO，则有AE=DF，DE=OF，设AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED，通过OB=EF得到，然后再通过得到，将两个关于m,n的方程联立即可求出m的值．

解：（1）∵点A在上，点A的横坐标为m，

∴A（m，m2），

当m =1时， ，

∴A（1，1），

∴这条“子抛物线”的解析式为．

（2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB=m，OB= m2．

∴“子抛物线”的解析式为．

令x = 0，，

∴点C的坐标（0，），，

∴．

在Rt△ABC中，

．

（3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F．

∵∠OAC=135°，

∴∠OAD=45°．

又∵OD⊥CA，

∴∠AOD=∠OAD=45°，

∴AD=OD，

，

．

，

∴△AED≌△DFO，

∴AE=DF，DE=OF．

设AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED．

又∵OB=EF，

∴．

又，

∴∠BCA=∠ADE，

∴．

解方程组，得，（舍去）

∴ m的值为2．