题目内容
【题目】如图,直线AB交x轴于点,交y轴与点
,直线
轴正半轴于点M,交线段AB于点C,
,连接DA,
.
求点D的坐标及过O、D、B三点的抛物线的解析式;
若点P是线段MB上一动点,过点P作x轴的垂线,交AB于点F,交上问中的抛物线于点E.
连接
请求出满足四边形DCEF为平行四边形的点P的坐标;
连接CE,是否存在点P,使
与
相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】②存在
或
.
【解析】
(1)先求出点D的坐标,再把、
、
,代入
,即可求出过O、D、B三点的抛物线的解析式;
(2)①先求出AB所在的直线解析式,利用列出方程求解即可;
②存在;设,由于对顶角
,故当
与
相似时,分为:
,
两种情况,根据等腰直角三角形的性质求P点坐标即可.
,
,
,
,
,
设抛物线的解析式为,
把、
、
,代入得
,
解得,
过O、D、B三点的抛物线的解析式为
;
(2)①,
,
所在的直线解析式为
,
∵C点横坐标为2,
∴C点坐标为(2,2),
,
则当时,满足四边形DCEF为平行四边形,
设点,
的纵坐标为
,E的纵坐标为
,
,
解得舍去
或
,
;
②存在;
过O、D、B三点的抛物线的解析式为
,
由①得,设
,
,
,
1.当时
如图
,
与
相似,
过C点作,
∵OA=OB,
∴∠OBA=45°,
∴、
、
为等腰直角三角形,
则,
将代入抛物线
中,得
,
解得或
,
故P点坐标为;
2.当时
如图
,
此时,,
为等腰直角三角形,
则,
将代入抛物线
中,得
,
解得舍去
或
,
故P点坐标为.
故答案为或
.

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