题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转至AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC于点E.
(1)求证:∠CBP=∠ABP;
(2)求证:AE=CP;
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)根据旋转的性质可得,根据等边对等角的性质可得,再根据等角的余角相等证明即可;
(2)过P点作PD⊥AB于点D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得,然后求出,利用"角角边",根据全等三角形对应边相等可得,从而得证.
证明:(1)∵是由旋转得到,
∴,
∴,
∵∠C=90°,AP′⊥AB
∴,
又∵
∴
(2)如图,过P点作PD⊥AB于点D,
∵
∴,
∵
∴
∴
在和中,
∴
∴
∴