Question

【题目】如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE.

(1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；

(2)当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）在△ABC中，E.F分别是边AB、BC中点，

得到EF∥AC,且 GH∥AC,且得到四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形EFGH是平行四边形，再由AC=BD，得出EH=EF，从而证得四边形EFGH是菱形．对角线相等，推知四边形EFGH是正方形；

试题解析：(1)在△ABC中，E.F分别是边AB、BC中点，

所以EF∥AC,且

同理有GH∥AC,且

∴EF∥GH且EF=GH，

故四边形EFGH是平行四边形.

(2)EH∥BD且

若AC=BD，则有EH=EF，

又因为四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是菱形，

∵AC⊥BD，

即：当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形.