Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a．

（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE；
（2）当a=3时，连结DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；
（3）当tan∠PAE=时，求a的值．

Answer 1

（1）y=，自变量的取值范围为：0＜a＜5；
（2）四边形APFD是菱形，证明见解析；
（3）a=3或7．

试题分析：（1）设CE=y,PC在BC上运动时，要求y关于a的函数解析式，只需要用勾股定理表示PE²=PC²+EC²就可以使问题到解决，而关键是解决PE²，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题；
（2）先证明四边形APFD是平行四边形，再证得四边形APFD是菱形；
（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到=2，再分情况讨论，从而求出a的值．
试题解析：（1）设CE=y
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵BP=a，CE=y，
∴PC=5﹣a，DE=4﹣y，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，∠APB+∠CPE=90°，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠CPE=∠BAP，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∴，
∴y=，自变量的取值范围为：0＜a＜5；
（2）当a=3时，y=，即CE=，
∴DE=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴，
∴，
∴CF=3，
∴PF=PC+CF=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形APFD是平行四边形，
在Rt△APB中，
AB=4，BP=3，∠B=90⁰
∴AP=5=PF，
∴四边形APFD是菱形；
（3）根据tan∠PAE=，可得：=2
易得：△ABP∽△PCE
∴=2
于是：=2或="2"
解得：a=3，y=1.5或 a=7，y=3.5．
∴a=3或7．