Question

如图，直线y＝2x－2与x轴交于点A，抛物线y＝ax²＋bx＋c的对称轴是直线x＝3，抛物线经过点A，且顶点P在直线y＝2x－2上．

（1）求A、P两点的坐标及抛物线y＝ax²＋bx＋c的解析式；
（2）画出抛物线的草图，并观察图象写出不等式ax²＋bx＋c＞0的解集．

Answer 1

（1）A（1，0），P（3，4），y＝－x²＋6x－5；（2）1＜x＜5

试题分析：（1）把y＝0、x＝3分别代入y＝2x－2，即可求得A、P两点的坐标，由点P为抛物线的顶点坐标，则可设出顶点式，再将A点的坐标代入，即可求得抛物线的解析式，最后化为一般式即可；
（2）先画出抛物线的草图，再求出抛物线与x轴的交点坐标，最后根据图象的特征即可求得结果.
（1）对于y＝2x－2，
当y＝0时，x＝1．
当x＝3时，y＝4．
∴ A（1，0），P（3，4）．
设抛物线的解析式为y＝a(x－3)²＋4．
将A点的坐标代入，得a(1－3)²＋4＝0，解得a＝－1
∴ 抛物线的解析式为 y＝－(x－3)²＋4，
即 y＝－x²＋6x－5．
（2）抛物线的草图如图所示：

解方程－x²＋6x－5＝0，得x₁＝1，x₂＝5．
∴ 不等式－x²＋6x－5＞0的解集是1＜x＜5．
点评：在求二次函数的解析式的问题时，若知道图象的顶点坐标或对称轴，解析式一般设成顶点式.