题目内容
【题目】如图1，AB＝AC，EF＝EG，△ABC≌△EFG，AD⊥BC于点D，EH⊥FG于点H
(1) 直接写出AD、EH的数量关系：___________________
(2) 将△EFG沿EH剪开，让点E和点C重合
① 按图2放置△EHG，将线段CD沿EH平移至HN，连接AN、GN，求证：AN⊥GN
② 按图3放置△EHG，B、C（E）、H三点共线，连接AG交EH于点M．若BD＝1，AD＝3，求CM的长度
【答案】（1）AD=EH；（2）见解析；（3）CM=2.
【解析】
（1）由△ABC≌△EFG，可知面积相等，利用面积公式可得高相等；
（2）如图所示，设AN、CH交于点P，CH、NG交于点O，由CD平移到NH可知四边形CDNH为平行四边形，所以CH=DN=AD，可得出△AND为等腰三角形，再由GH=CD=NH可得出△GHN为等腰三角形，由于两个等腰三角形顶角相等，可推出底角相等，在△OPN和△OGH中，可由∠OPN=∠PND=∠NGH，可推出∠PNO=90°，则AN⊥GN；
（3由AD⊥BH，GH⊥BH，可得AD∥GH，所以
，再由DH=DC+EH=1+3=4，
可求出DM=3，∴CM=3-1=2.
解：（1）∵△ABC≌△EFG，
∴BC=FG，
∴
∴AD=EH
（2）如图所示，设AN、CH交于点P，CH、NG交于点O
CD平移到NH可得四边形CDNH为平行四边形
∴CH=DN，∠CDN=∠CHN，DN∥CH
又∵EH=AD，∴AD=DN，即△AND为等腰三角形
∵GH=CD=NH，∴△GHN为等腰三角形，
∵∠ADN=∠ADC+∠CDN=90°+∠CDN
∠NHG=∠CHG+∠CHN=90°+∠CHN
而∠CDN=∠CHN
∴∠ADN=∠NHG，
∴
，
∴∠AND=∠NGH
又∵DN∥CH，∴∠AND=∠NPH，∴∠NGH=∠NPH
在△OPN和△OGH中
∠NPH=∠NGH，∠PON=∠GOH，
∴∠PNO=∠OGH=90°，
∴AN⊥GN
（3）由△ABC≌△EFG可得CD=BD=1，EH=AD=3
∵AD⊥BH，GH⊥BH
∴AD∥GH，∴，∴
又∵DH=DC+EH=1+3=4
∴DM=3，
∴CM=DM-DC=3-1=2.
