Question

如图，点I是△ABC的内心，AI交BC边于D，交△ABC的外接圆于点E．
求证：（1）IE=BE；
（2）IE是AE和DE的比例中项．

Answer 1

证明：（1）连接BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BIE=∠1+∠3，
∠IBE=∠5+∠4，
而∠5=∠1=∠2，
∴∠BIE=∠IBE，
∴IE=BE．

（2）根据（1）可得：
∵∠2=∠1=∠5，∠E=∠E，
∴△AEB∽△BED，
∴

AE

BE

=

BE

DE

，
∵BE=IE，
∴

AE

IE

=

IE

DE

，
∴IE是AE和DE的比例中项．