题目内容
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2-(m-1)x+m2-6交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B(0,3),顶点C位于第二象限,连接AB,AC,BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D是y轴正半轴上一点,且在B点上方,若∠DCB=∠CAB,请你猜想并证明CD与AC的位置关系;
(3)设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发,沿x轴负方向平移t个单位长度(0<t≤3)时,△EFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D是y轴正半轴上一点,且在B点上方,若∠DCB=∠CAB,请你猜想并证明CD与AC的位置关系;
(3)设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发,沿x轴负方向平移t个单位长度(0<t≤3)时,△EFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
(1)∵抛物线y=-x2-(m-1)x+m2-6与y轴交于点B(0,3),
∴m2-6=3.
∴m=±3.
∵抛物线的顶点在第二象限,
∴m=3.
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)猜想:CD⊥AC,如图(1):
证明如下:
∵A(-3,0),B(0,3),C(-1,4),
∴AB=3
,AC=2
,BC=
.
∴AB2+BC2=AC2,
∴∠ABC=90°,
∴∠CAB+∠ACB=90°,
又∵∠CAB=∠DCB,
∴∠DCB+∠ACB=90°,
∴CD⊥AC.
(3)设直线AC的解析式为y=kx+b,
将A(-3,0),C(-1,4)代入可得:
,
解得:
,
即直线AC的解析式为y=2x+6.
过B作BK∥x轴,交AC于点K,
则点K的坐标为(-
,3),
①当0<t<
时,如图(2),EF交AB于点Q,GF交AC于点N,过N做MP∥FE交x轴于P点,交BF的延长线点M,
由△AGN∽△KFN,得
=
,
即
=
,
解得PN=2t,
则S阴影=S△FGE-S△QAE-S△AGN=
×3×3-
(3-t)2-
t×2t=-
t2+3t.
②当
≤t≤3时,如图(3),EF交AB于点N,交AC于点M,BF交AC于点P,
.
由△AME∽△PMF,
得
=
.
即
=
,
解得ME=2(3-t),
∴S阴影=S△MAE-S△NAE=
×(3-t)×2(3-t)-
(3-t)2=
t2-3t+
.
综上所述:S=
.
∴m2-6=3.
∴m=±3.
∵抛物线的顶点在第二象限,
∴m=3.
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)猜想:CD⊥AC,如图(1):
证明如下:
∵A(-3,0),B(0,3),C(-1,4),
∴AB=3
2 |
5 |
2 |
∴AB2+BC2=AC2,
∴∠ABC=90°,
∴∠CAB+∠ACB=90°,
又∵∠CAB=∠DCB,
∴∠DCB+∠ACB=90°,
∴CD⊥AC.
(3)设直线AC的解析式为y=kx+b,
将A(-3,0),C(-1,4)代入可得:
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解得:
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即直线AC的解析式为y=2x+6.
过B作BK∥x轴,交AC于点K,
则点K的坐标为(-
3 |
2 |
①当0<t<
3 |
2 |
由△AGN∽△KFN,得
AG |
KF |
PN |
MN |
即
t | ||
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PN |
3-PN |
解得PN=2t,
则S阴影=S△FGE-S△QAE-S△AGN=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
②当
3 |
2 |
.
由△AME∽△PMF,
得
AE |
PF |
ME |
MF |
即
3-t | ||
t-
|
ME |
3-ME |
解得ME=2(3-t),
∴S阴影=S△MAE-S△NAE=
1 |
2 |
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2 |
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综上所述:S=
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