题目内容
如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙A的半径为3,A点的坐标为(2,0),C、E分别是⊙A与y轴、x轴的交点,过C点作⊙A的切线BC交x轴于点B.
(1)求直线BC的解析式;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c经过B、A两点,且顶点在直线BC上,求此抛物线的顶点的坐标;
(3)在x轴上是否存在一点P,使△PCE和△CBE相似?若存在,请你求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)求直线BC的解析式;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c经过B、A两点,且顶点在直线BC上,求此抛物线的顶点的坐标;
(3)在x轴上是否存在一点P,使△PCE和△CBE相似?若存在,请你求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)连接AC,由直线BC为圆A的切线,得到CA⊥CB,
又∵⊙A的半径为3,
∴AC=3,
又∵A点的坐标为(2,0),即OA=2,
在Rt△AOC中,根据勾股定理得:OC=
AC2-OA2 |
5 |
∴点C坐标为(0,
5 |
又∠OCB+∠OCA=90°,∠OCA+∠OAC=90°,
∴∠OCB=∠OAC,又∠COB=∠AOC=90°,
∴△BOC∽△COA,
∴
BO |
OC |
OC |
OA |
5 |
∴BO=
5 |
2 |
5 |
2 |
设直线BC的方程为y=kx+b,
把B和C的坐标代入得:
|
解得:k=
2
| ||
5 |
5 |
则直线BC的方程为y=
2
| ||
5 |
5 |
(2)抛物线y=ax2+bx+c经过B、A两点,且顶点在直线BC上,
∵A(2,0),B(-
5 |
2 |
∴
2-
| ||
2 |
1 |
4 |
∴对称轴为直线x=-
1 |
4 |
1 |
4 |
把x=-
1 |
4 |
2
| ||
5 |
5 |
9
| ||
10 |
则此抛物线的顶点的坐标为(-
1 |
4 |
9
| ||
10 |
(3)x轴上存在一点P,使△PCE和△CBE相似,理由如下:
∵AE=3,OA=2,
∴OE=1,
在Rt△OCE中,根据勾股定理得:CE=
OC2+OE2 |
6 |
∵OB=
5 |
2 |
∴BE=1.5,
假设存在这样的点P,
当点P在点B左侧时,如图所示:

若△BCE∽△CPE,则有
CE |
PE |
BE |
CE |
即
| ||
PE |
1.5 | ||
|
解得:PE=4,
则点P的坐标为(-5,0);
当点P在点B右侧时,要使△CBE∽△PCE,则有∠BEC=∠CEP,
∴∠BEC=∠CEP=90°,与题设矛盾,
∴不存在这样的P满足题意,
综上,满足题意的P点有1个,P的坐标为(-5,0).


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