Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A的半径为3，A点的坐标为（2，0），C、E分别是⊙A与y轴、x轴的交点，过C点作⊙A的切线BC交x轴于点B．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c经过B、A两点，且顶点在直线BC上，求此抛物线的顶点的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△PCE和△CBE相似？若存在，请你求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接AC，由直线BC为圆A的切线，得到CA⊥CB，
又∵⊙A的半径为3，
∴AC=3，
又∵A点的坐标为（2，0），即OA=2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OC=

AC2-OA2

=

5

，
∴点C坐标为（0，

5

），
又∠OCB+∠OCA=90°，∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠OCB=∠OAC，又∠COB=∠AOC=90°，
∴△BOC∽△COA，
∴

BO

OC

=

OC

OA

，又OC=

5

，OA=2，
∴BO=

5

2

，即B（-

5

2

，0），
设直线BC的方程为y=kx+b，
把B和C的坐标代入得：

b= 5 - 5 2 k+b=0

，
解得：k=

2 5

5

，b=

5

，
则直线BC的方程为y=

2 5

5

x+

5

；

（2）抛物线y=ax²+bx+c经过B、A两点，且顶点在直线BC上，
∵A（2，0），B（-

5

2

，0），
∴

2- 5 2

2

=-

1

4

，
∴对称轴为直线x=-

1

4

，即顶点横坐标为-

1

4

，
把x=-

1

4

代入y=

2 5

5

x+

5

得：y=

9 5

10

，
则此抛物线的顶点的坐标为（-

1

4

，

9 5

10

）；

（3）x轴上存在一点P，使△PCE和△CBE相似，理由如下：
∵AE=3，OA=2，
∴OE=1，
在Rt△OCE中，根据勾股定理得：CE=

OC2+OE2

=

6

，
∵OB=

5

2

，OE=1，
∴BE=1.5，
假设存在这样的点P，
当点P在点B左侧时，如图所示：

若△BCE∽△CPE，则有

CE

PE

=

BE

CE

，
即

6

PE

=

1.5

6

，
解得：PE=4，
则点P的坐标为（-5，0）；
当点P在点B右侧时，要使△CBE∽△PCE，则有∠BEC=∠CEP，
∴∠BEC=∠CEP=90°，与题设矛盾，
∴不存在这样的P满足题意，
综上，满足题意的P点有1个，P的坐标为（-5，0）．