题目内容
如图,在直角坐标系中,O为原点,抛物线y=x2+bx+3与x轴的负半轴交于点A,与y轴的正半轴交于
点B,tan∠ABO=
,顶点为P.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线向上或向下平移|k|个单位长度后经过点C(-5,6),试求k的值及平移后抛物线的最小值;
(3)设平移后的抛物线与y轴相交于D,顶点为Q,点M是平移的抛物线上的一个动点.请探究:当点M在何位置时,△MBD的面积是△MPQ面积的2倍求出此时点M的坐标.友情提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-
,顶点坐标是(-
,
).
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140825/201408252050263955214.png)
1 |
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(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线向上或向下平移|k|个单位长度后经过点C(-5,6),试求k的值及平移后抛物线的最小值;
(3)设平移后的抛物线与y轴相交于D,顶点为Q,点M是平移的抛物线上的一个动点.请探究:当点M在何位置时,△MBD的面积是△MPQ面积的2倍求出此时点M的坐标.友情提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-
b |
2a |
b |
2a |
4ac-b2 |
4a |
(1)令x=0,则y=3.
∴B点坐标为(0,3),OB=3.
∵tan∠OAB=
=
=
,
∴AO=1.
∴A点坐标为(-1,0).
∴0=(-1)2+b(-1)+3.
求得b=4.
∴所求的抛物线解析式为y=x2+4x+3.
(2)设平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+3+k.
∵它经过点(-5,6),
∴6=(-5)2+4(-5)+3+k.
∴k=-2.
∴平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+3-2=x2+4x+1.
配方,得y=(x+2)2-3.
∵a=1>0,
∴平移后的抛物线的最小值是-3.
(3)由(2)可知,BD=PQ=2,对称轴为x=-2.
又S△MBD=2S△MPQ,
∴BD边上的高是PQ边上的高的2倍.
设M点坐标为(m,n).
①当M点的对称轴的左侧时,则有0-m=2(-2-m).
∴m=-4.
∴n=(-4)2+4(-4)+1=1.
∴M(-4,1).
②当M点在对称轴与y轴之间时,则有0-m=2[m-(-2)].
∴m=-
.
∴n=(-
)2+4(-
)+1=-
.
∴M(-
,-
).
③当M点在y轴的右侧时,则有m=2[(m-(-2)].
∴m=-4<0,不合题意,应舍去.
综合上述,得所求的M点的坐标是(-4,1)或(-
,-
).
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140825/2014082520502662910406.png)
∴B点坐标为(0,3),OB=3.
∵tan∠OAB=
OA |
AB |
OA |
3 |
1 |
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∴AO=1.
∴A点坐标为(-1,0).
∴0=(-1)2+b(-1)+3.
求得b=4.
∴所求的抛物线解析式为y=x2+4x+3.
(2)设平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+3+k.
∵它经过点(-5,6),
∴6=(-5)2+4(-5)+3+k.
∴k=-2.
∴平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+3-2=x2+4x+1.
配方,得y=(x+2)2-3.
∵a=1>0,
∴平移后的抛物线的最小值是-3.
(3)由(2)可知,BD=PQ=2,对称轴为x=-2.
又S△MBD=2S△MPQ,
∴BD边上的高是PQ边上的高的2倍.
设M点坐标为(m,n).
①当M点的对称轴的左侧时,则有0-m=2(-2-m).
∴m=-4.
∴n=(-4)2+4(-4)+1=1.
∴M(-4,1).
②当M点在对称轴与y轴之间时,则有0-m=2[m-(-2)].
∴m=-
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∴n=(-
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3 |
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∴M(-
4 |
3 |
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③当M点在y轴的右侧时,则有m=2[(m-(-2)].
∴m=-4<0,不合题意,应舍去.
综合上述,得所求的M点的坐标是(-4,1)或(-
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