Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，半径为2

2

的⊙O′与y轴交于A、B两点，与直线OC相切于点C，∠BOC=45°，BC⊥OC，垂足为C．
（1）判断△ABC的形状；
（2）在

BC

上取一点D，连接DA、DB、DC，DA交BC于点E．求证：BD•CD=AD•ED；
（3）延长BC交x轴于点G，求经过O、C、G三点的二次函数的解析式．

Answer 1

（1）∵OC与⊙O'相切
∴O'C⊥OC
又∵BC⊥OC
∴O'在BC上，即BC为⊙O'的直径
∴∠CAB=90°
∴CA⊥BA
∵∠BOC=45°
∴△BOC为等腰直角三角形
∴A为OB的中点，CD=

1

2

OB=AB
∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）证明：∵AC=AB
∴

AC

=

AB

．
∴∠ADC=∠ADB
又∵∠CAD=∠CBD
∴△ADC∽△BDE
∴

AD

BD

=

DC

DE

，
即BD•CD=AD•ED．

（3）在Rt△BOC中
∵⊙O′的半径为2

2

∴BC=4

2

∵∠BOC=45°
∴OB=

2

•BC=8，CA=OA=AB=

1

2

OB=4
∵CA∥x轴，
∴C点坐标为（-4，-4）
∴BC=CG
∴AC为△BGO的中位线
∴OG=2AC=8
∴G点坐标为（-8，0）
设过O、C、G三点的二次函数为y=ax²+bx+c，
由已知，函数图象过（0，0），（-4，-4），（-8，0）三点，得

c=0 16a-4b=-4 64a-8b=0

解这个方程组，得
a=

1

4

，b=2，c=0
因此，所求二次函数是y=

1

4

x²+2x．