Question

【题目】如图1，△ABC中，D、E、F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点为点H，∠1+∠2=180°，∠3=∠C．

（1）求证：DE∥BC；

（2）在以上条件下，若△ABC及D，E两点的位置不变，点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化，保证点H存在且不与点F重合，探究：要使∠1=∠BFH成立，请说明点F应该满足的位置条件，在图2中画出符合条件的图形并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若∠C=α，直接写出∠BFH的大小 ．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 90°+.

【解析】

（1）欲证明DE∥BC，只需推知∠DEC+∠C=180°即可，因此先根据外角性质，将∠1转化为∠3+∠4，再根据∠1与∠2互补，得到∠3+∠4+∠2=180°，最后将∠3=∠C代入即可得出结论；

（2）点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立．

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义，得出∠2的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．

（1）如图1．

∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠4．

又∵∠1+∠2=180°，∴∠3+∠4+∠2=180°．

∵∠3=∠C，∴∠C+∠4+∠2=180°，即∠DEC+∠C=180°，∴DE∥BC；

（2）如图2．

∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠DEF，①

∵∠BFE是△CEF的外角，∴∠BFH=∠2+∠C．

当∠1=∠BFH时，∠1=∠2+∠C，②

由①②得：∠3+∠DEF=∠2+∠C．

∵∠3=∠C，∴∠DEF=∠2，即EF平分∠DEC，∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立．

（3）∵EF平分∠DEC，∴∠DEF=∠2．

∵DE∥BC，∴∠DEC+∠C=180°，∴2∠2+α=180°，∴∠2==．

∵∠BFH=∠2+∠C==．