Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，∠BAC=∠ACD=90°，点E为边AB上一点，AB=3AE=3cm，动点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，设运动时间为t秒．

（1）求证四边形ABCD是平行四边形；
（2）当△BEP为等腰三角形时，求t2﹣31t的值；
（3）当t=4时，把△ABP沿直线AP翻折，得到△AFP，求△AFP与ABCD重叠部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在△ABC和△DCA中 ，

∴△ABC≌△DCA（AAS）．

∴AB=CD，AD=BC．

∴四边形ABCD是平行四边形

（2）

解：如图1所示：当点P在BC上时．

∵△BEP为等腰三角形，∠B=60°，

∴△BEP为等边三角形．

∴BP=BE=3﹣1=2．

∵点P运动的速度为1cm/s，

∴t=2．

∴t2﹣31t=22﹣31×2=﹣58．

如图2所示：当点P在AD上时：EB=EP，作PH⊥AB，PA=15﹣t．

∵∠ABC=60°，AD∥BC，

∴∠HAP=60°．

∵∠H=90°，

∴∠HPA=30°．

∴AH= AP= ，PH= AH= ．

在Rt△EHP中，由勾股定理得：（ +1）2+（ ）2=22，整理得：t2﹣31t=﹣237

（3）

解：如图所示：设PF与AD交于点M，作MN⊥AP于N，AH⊥BP点H．

在Rt△ABH中，∠B=60°，则BH= AB= ，AH= ．

∴HP=4﹣ = ．

∴S△APH= × × = ．

在Rt△APH中，依据勾股定理可知AP= ．

由翻折的性质可知∠BPA=∠FPA．

∵AD∥BC，

∴∠BPA=∠DAP．

∴∠FPA=∠DAP．

∴AM=PM．

又∵MN⊥AP，

∴AN=NP= ．

∵∠AHP=∠MNP=90°，∠BPA=∠FPA，

∴△MPN∽△APH，

∴ =（ ）2= ．

∴S△MNP= × = ．

∵AD∥BC，

∴∠BPA=∠DAP．

∴∠FPA=∠DAP．

∴AM=PM．

又∵MN⊥AP，

∴AN=NP．

∴S△AMP=2S△MNP=

【解析】（1）首先证明△ABC≌△DCA，依据全等三角形的性质可知AB=CD，AD=BC，接下来，依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明即可；（2）当点P在BC上时，可证明△BEP为等边三角形，从而可求得t=2，将t=2代入所求代数式即可求得代数式的值；当点P在AD上时，作PH⊥AB，PA=15﹣t，在Rt△APH中，∠HAP=60°，于是可求得AH= ，PH= ，接下来，在Rt△EHP中，由勾股定理可得到关于t的方程，整理这个关于t的方程即可得到问题的答案；（3）设PF与AD交于点M，作MN⊥AP于N，AH⊥BP点H．在Rt△ABH中可求得BH，AH的长，从而可得到HP的长，然后依据勾股定可求得到AP的长，依据三角形的面积可求得S△APH的值，在Rt△APH中，依据勾股定可求得AP= ．接下来，证明△AMP为等腰三角形，依据等腰三角形三线合一的性质可得到NP的长，然后证明△MPN∽△APH，依据相似三角形的性质可求得S△MNP的值，最后依据S△AMP=2S△MNP求解即可．