题目内容

【题目】如图,直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点,OA=2,tan∠ABO= ,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.

(1)求直线AB和这个抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,求△ABD的面积;
(3)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN的长度l有最大值?最大值是多少?

【答案】
(1)

解:∵在Rt△AOB中,tan∠ABO= ,OA=2,

=

∴0B=4,

∴A(0,2),B(4,0),

把A、B的坐标代入y=﹣x2+bx+c得:

解得:b=

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+ x+2,

设直线AB的解析式为y=kx+e,把A、B的坐标代入得:

解得:k=﹣ ,e=2,

所以直线AB的解析式是y=﹣ x+2


(2)

解:过点D作DE⊥y轴于点E,

由(1)抛物线解析式为y=﹣x2+ x+2=﹣(x﹣ 2+

即D的坐标为( ),

则ED= ,EO=

AE=EO﹣OA=

SABD=S梯形DEOB﹣SDEA﹣SAOB= ×( +4)× × ×4×2=


(3)

解:由题可知,M、N横坐标均为t.

∵M在直线AB:y=﹣ x+2上

∴M(t,﹣ t+2)

∵N在抛物线y=﹣x2+ x+2上

∴M(t,﹣t2+ t+2),

∵作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N,

∴MN=﹣t2+ t+2﹣(﹣ +2)=﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+4,

其中0<t<4,

∴当t=2时,MN最大=4,

所以当t=2时,MN的长度l有最大值,最大值是4


【解析】(1)求出OB,把A、B的坐标代入y=﹣x2+bx+c和y=kx+e求出即可;(2)求出D的坐标,再根据面积公式求出即可;(3)求出M、N的坐标,求出MN的值,再化成顶点式,即可求出答案.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网