题目内容
如图,在ΔABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN//BC,∠ACB以及外角∠ACD的平分线分别交MN于点E、F。
小题1:求证OE=OF
小题2:当点O运动到AC边的什么位置时,四边形AECF是矩形?回答并证明你的结论。
小题1:求证OE=OF
小题2:当点O运动到AC边的什么位置时,四边形AECF是矩形?回答并证明你的结论。
小题1:见解析
小题2:见解析
证明(1)∵CE平分∠ACB
∴∠ACE=∠BCE………………………… 1分
∵MN//BC
∴∠OEC=∠BCE………………………… 2分
∴∠ACE=∠OEC
∴OE="OC" ………………………… 3分
同理OF=OC………………………… 4分
∴OE="OF" ………………………… 5分
(2)当点O运动到AC边的中点时,四边形AECF是矩形。… 6分
证明:∵O为AC中点
∴OA=OC
又OE=OF
∴四边形AECF为平行四边形………………………8分
∵OE=OC
∴2OE=2OC
即AC=EF ………………………… 10分
∴ 平行四边形AECF为矩形………………………… 11分
或者: ∵CE平分∠ACB CF平分∠ACD
∴∠ACE=∠ACB ∠ACF=∠ACD
∴∠ACE+∠ACF=(∠ACB+∠ACD)=×180o=90o
∴ 平行四边形AECF为矩形。
∴∠ACE=∠BCE………………………… 1分
∵MN//BC
∴∠OEC=∠BCE………………………… 2分
∴∠ACE=∠OEC
∴OE="OC" ………………………… 3分
同理OF=OC………………………… 4分
∴OE="OF" ………………………… 5分
(2)当点O运动到AC边的中点时,四边形AECF是矩形。… 6分
证明:∵O为AC中点
∴OA=OC
又OE=OF
∴四边形AECF为平行四边形………………………8分
∵OE=OC
∴2OE=2OC
即AC=EF ………………………… 10分
∴ 平行四边形AECF为矩形………………………… 11分
或者: ∵CE平分∠ACB CF平分∠ACD
∴∠ACE=∠ACB ∠ACF=∠ACD
∴∠ACE+∠ACF=(∠ACB+∠ACD)=×180o=90o
∴ 平行四边形AECF为矩形。
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