Question

在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一点，DF//AB，DF与CE相交于点F，设EF=，DF=．
(1) 如图1，当点E在射线OB上时，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

(2) 如图2，当点F在⊙O上时，求线段DF的长；
   
(3) 如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切，求线段DF的长．

Answer 1

（1）（）；（2）2+2；（3）或或

试题分析：（1）连接OC，先根据垂径定理证得OD=AD，再结合DF//AB可得CF=EF，即可得到DF==．由点C是以AB为直径的半圆的中点，可得CO⊥AB．由EF=，AO=CO=4，可得到CE=2，OE=，即可得到结果；
（2）当点F在⊙O上时，连接OC、OF，则EF=，即得OC=OB=AB=4，从而可以求得结果；
（3）分当⊙E与⊙O外切于点B时，当⊙E与⊙O内切于点B时，当⊙E与⊙O内切于点A时，三种情况，根据勾股定理列方程求解即可.
（1）连接OC

∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，
∴OD=AD.
∵DF//AB，
∴CF=EF，
∴DF==．
∵点C是以AB为直径的半圆的中点，
∴CO⊥AB．
∵EF=，AO=CO=4
∴CE=2，OE=.
∴（）．
（2）当点F在⊙O上时，连接OC、OF，EF=，

∴OC=OB=AB=4．
∴DF=2+=2+2．
（3）当⊙E与⊙O外切于点B时，BE=FE．
∵，
∴ ，
∴，）．
∴DF=．
当⊙E与⊙O内切于点B时，BE=FE．
∵，
∴ ，
∴，）．
∴DF=．
当⊙E与⊙O内切于点A时，AE=FE．
∵，
∴ ，
∴，）．
∴DF=．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．