题目内容
【题目】将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点 
，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；
（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；
（3）当∠BPA'=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】
（1）
解：∵点 
，点B（0，1），
∴OA= 
，OB=1，
由折叠的性质得：OA'=OA= ，
∵A'B⊥OB，
∴∠A'BO=90°，
在Rt△A'OB中，A'B= 
= 
，
∴点A'的坐标为（ ，1）；
（2）
解：在Rt△ABO中，OA= ，OB=1，
∴AB= 
=2，
∵P是AB的中点，
∴AP=BP=1，OP= 
AB=1，
∴OB=OP=BP
∴△BOP是等边三角形，
∴∠BOP=∠BPO=60°，
∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°，
由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，
∴∠BOP+∠OPA'=180°，
∴OB∥PA'，
又∵OB=PA'=1，
∴四边形OPA'B是平行四边形，
∴A'B=OP=1；
（3）
解：设P（x，y），分两种情况：
①如图③所示：点A'在y轴上，
在△OPA'和△OPA中， 
，
∴△OPA'≌△OPA（SSS），
∴∠A'OP=∠AOP= ∠AOB=45°，
∴点P在∠AOB的平分线上，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点 ，点B（0，1）代入得： 
，
解得： 
，
∴直线AB的解析式为y=﹣ 
x+1，
∵P（x，y），
∴x=﹣ x+1，
解得：x= 
，
∴P（ ， ）；
②如图④所示：
由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，
∵∠BPA'=30°，
∴∠A'=∠A=∠BPA'，
∴OA'∥AP，PA'∥OA，
∴四边形OAPA'是菱形，
∴PA=OA= ，作PM⊥OA于M，如图④所示：
∵∠A=30°，
∴PM= PA= 
，
把y= 代入y=﹣ x+1得： =﹣ x+1，
解得：x= 
，
∴P（ ， ）；
综上所述：当∠BPA'=30°时，点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【解析】（1）由点A和B的坐标得出OA= ，OB=1，由折叠的性质得：OA'=OA= ，由勾股定理求出A'B= = ，即可得出点A'的坐标为（ ，1）；（2）由勾股定理求出AB= =2，证出OB=OP=BP，得出△BOP是等边三角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折叠的性质得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，证出OB∥PA'，得出四边形OPA'B是平行四边形，即可得出A'B=OP=1；（3）分两种情况：①点A'在y轴上，由SSS证明△OPA'≌△OPA，得出∠A'OP=∠AOP= ∠AOB=45°，得出点P在∠AOB的平分线上，由待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣ x+1，即可得出点P的坐标；②由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四边形OAPA'是菱形，得出PA=OA= ，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性质求出PM= PA= ，把y= 代入y=﹣ x+1求出点P的纵坐标即可．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和翻折变换（折叠问题）的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能正确解答此题．
