Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx-3（a≠0）与x轴交于点
A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点M，使 ： =5：2，求M点坐标。

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（-2，0）、B（4，0）分别代入y=ax+bx-3（a≠0），得

解得 ，

所以该抛物线的解析式为：y= x- x-3.

（2）

解：设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．

∴PB=6-3t．

由题意得，点C的坐标为（0，-3）．

在Rt△BOC中，BC= =5

如下图，过点Q作QH⊥AB于点H．

∴QH∥CO，

∴△BHQ∽△BOC，

∴ ，即 ，

∴HQ= t.

∴ = PB HQ= （6-3t） t=- t+ t=- （t-1）+ .

当△PBQ存在时，0＜t＜2

∴当t=1时， =

答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是 .

（3）

解：设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．

把B（4，0），C（0，-3）代入，得

解得 ，

∴直线BC的解析式为y= x-3.

∵点M在抛物线上.

∴设点M的坐标为（m， m- m-3）

如下图，过点M作ME∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m， m-3）.

∴EM= m-3-（ m- m-3）=- m+ m.

当△PBQ的面积最大时，∵S△CBM：S△PBQ=5：2，S△PBQ= .

∴S△CBM= .

S△CBM=S△CEM+S△BEM= EMm+ EM（4-m）

= ×4EM

=2×（- m+ m）

=- m+3m.

即：- m+3m= .

解得m1=1，m2=3．

∴M1（1，- ），M2（3，- ）.

【解析】（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=- （t-1）+ 。利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y= x-3，由二次函数图象上的坐标特征可设点K的坐标为（m， m- -3）. 如图，过点M作ME∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK= .则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK= EMm+ EK（4-m），把相关线段的长度代入推知：- m+3m= .易求得M1（1，- ），M2（3，- ）.
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)，还要掌握二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键．