题目内容
已知关于x的一元二次方程mx2-(2m+1)x+2=0.
(1)求证:此方程总有两个实数根;
(2)若此方程的两个实数根都是整数,求m的整数值;
(3)若此方程的两个实数根分别为x1、x2,求代数式m(x13+x23)-(2m+1)(x12+x22)+2(x1+x2)+5的值.
(1)求证:此方程总有两个实数根;
(2)若此方程的两个实数根都是整数,求m的整数值;
(3)若此方程的两个实数根分别为x1、x2,求代数式m(x13+x23)-(2m+1)(x12+x22)+2(x1+x2)+5的值.
考点:根的判别式,根与系数的关系
专题:计算题
分析:(1)根据题意m≠0,则计算判别式有△=(2m-1)2≥0,然后根据判别式的意义即可得到结
(2)利用求根公式得到x1=2,x2=
,而方程的两个实数根都是整数,且m为整数,然后根据整数的整除性即可得到m的值;
(3)根据一元二次方程的解的定义得到mx12-(2m+1)x1+2=0,mx22-(2m+1)x2+2=0,变形为mx13-(2m+1)x12+2x1=0,mx23-(2m+1)x22+2x2=0.
然后把所求的代数式变形后利用整体代入的方法进行计算.
(2)利用求根公式得到x1=2,x2=
1 |
m |
(3)根据一元二次方程的解的定义得到mx12-(2m+1)x1+2=0,mx22-(2m+1)x2+2=0,变形为mx13-(2m+1)x12+2x1=0,mx23-(2m+1)x22+2x2=0.
然后把所求的代数式变形后利用整体代入的方法进行计算.
解答:(1)证明:m≠0,
∵△=(2m+1)2-4m×2
=(2m-1)2≥0,
∴此方程总有两个实数根;
(2)解:方程的两个实数根为x=
,
∴x1=2,x2=
,
∵方程的两个实数根都是整数,且m为整数,
∴m=±1;
(3)解:∵方程的两个实数根分别为x1、x2,
∴mx12-(2m+1)x1+2=0,mx22-(2m+1)x2+2=0.
∴mx13-(2m+1)x12+2x1=0,mx23-(2m+1)x22+2x2=0.
∴原式=mx13-(2m+1)x12+2x1+mx23-(2m+1)x22+2x2+5
=0+0+5
=5.
∵△=(2m+1)2-4m×2
=(2m-1)2≥0,
∴此方程总有两个实数根;
(2)解:方程的两个实数根为x=
2m+1±
| ||
2m |
∴x1=2,x2=
1 |
m |
∵方程的两个实数根都是整数,且m为整数,
∴m=±1;
(3)解:∵方程的两个实数根分别为x1、x2,
∴mx12-(2m+1)x1+2=0,mx22-(2m+1)x2+2=0.
∴mx13-(2m+1)x12+2x1=0,mx23-(2m+1)x22+2x2=0.
∴原式=mx13-(2m+1)x12+2x1+mx23-(2m+1)x22+2x2+5
=0+0+5
=5.
点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的解.
练习册系列答案
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下列命题:①
为最简二次根式;②对于方程ax2+bx+c=0(a≠0),若b2>4ac,则原方程有实根;③平分弦的直径垂直于弦;④图形在旋转过程中,对应点到旋转中心的距离相等.其中正确的是( )
a2+b2 |
A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
P为△ABC内一点,PA、PB、PC把△ABC的面积分成三等分,则P点是△ABC的( )
A、内心 | B、外心 | C、垂心 | D、重心 |