题目内容
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-8,0)、B(2,0),与y轴正半轴交于点C,且∠ACB=90°;
(1)求点C的坐标;
(2)求a,b,c的值;
(3)在抛物线对称轴上找一点P,使得PB+PC最小,求P的坐标.
(1)求点C的坐标;
(2)求a,b,c的值;
(3)在抛物线对称轴上找一点P,使得PB+PC最小,求P的坐标.
考点:二次函数综合题
专题:压轴题
分析:(1)根据点A、B的坐标求出OA、OB的长,再根据同角的余角相等求出∠OAC=∠OCB,然后利用两角对应相等,两三角形相似求出△AOC和△COB相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出OC的长,即可得解;
(2)利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;
(3)根据抛物线解析式求出对称轴,然后根据轴对称确定最短路径问题,AC与抛物线的对称轴的交点即为所求的点P,利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式,然后求解即可.
(2)利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;
(3)根据抛物线解析式求出对称轴,然后根据轴对称确定最短路径问题,AC与抛物线的对称轴的交点即为所求的点P,利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式,然后求解即可.
解答:解:(1)∵A(-8,0)、B(2,0),
∴OA=8,OB=2,
∵∠ACB=90°,
∴∠OCA+∠OCB=90°,
∵∠OAC+∠OCA=90°,
∴∠OAC=∠OCB,
又∵∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴
=
,
即
=
,
解得OC=4,
∵点C在y轴正半轴,
∴点C的坐标为(0,4);
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-8,0)、B(2,0)、(0,4),
∴
,
解得
;
(3)由(2)得,抛物线解析式为y=-
x2-
x+4,
对称轴为直线x=-
=-
=-3,
根据轴对称确定最短路线问题,AC与对称轴的交点即为使得PB+PC最小的点P,
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
,
解得
,
∴直线AC的解析式为y=
x+4,
x=-3时,y=-
×3+4=
,
∴点P的坐标为(-3,
)时,PB+PC最小.
∴OA=8,OB=2,
∵∠ACB=90°,
∴∠OCA+∠OCB=90°,
∵∠OAC+∠OCA=90°,
∴∠OAC=∠OCB,
又∵∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴
OC |
OB |
OA |
OC |
即
OC |
2 |
8 |
OC |
解得OC=4,
∵点C在y轴正半轴,
∴点C的坐标为(0,4);
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-8,0)、B(2,0)、(0,4),
∴
|
解得
|
(3)由(2)得,抛物线解析式为y=-
1 |
4 |
3 |
2 |
对称轴为直线x=-
b |
2a |
-
| ||
2×(-
|
根据轴对称确定最短路线问题,AC与对称轴的交点即为使得PB+PC最小的点P,
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
|
解得
|
∴直线AC的解析式为y=
1 |
2 |
x=-3时,y=-
1 |
2 |
5 |
2 |
∴点P的坐标为(-3,
5 |
2 |
点评:本题是二次函数综合题型,主要利用了相似三角形的判定与性质,待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式,以及轴对称确定最短路径问题,(3)确定出点P的位置是解题的关键.
练习册系列答案
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强强的身高为1.60m,表示他实际身高α(单位m)的范围是( )
A、1.55<α<1.65 |
B、1.55≤α<1.65 |
C、1.595≤α<1.605 |
D、1.595<α<1.605 |