题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为E,AE交⊙O于点D,直线EC交AB的延长线于点P,连接AC,BC,PB:PC=1:2.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)探究线段PB,AB之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AD=3,求△ABC的面积.
【答案】
(1)
证明:连接OC,
∵PE是⊙O的切线,
∴OC⊥PE,
∵AE⊥PE,
∴OC∥AE,
∴∠DAC=∠OCA,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠DAC=∠OAC,
∴AC平分∠BAD;
(2)
解:线段PB,AB之间的数量关系为:AB=3PB.
理由:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠ABC,
∵∠PCB+∠OCB=90°,
∴∠PCB=∠PAC,
∵∠P是公共角,
∴△PCB∽△PAC,
∴,
∴PC2=PBPA,
∵PB:PC=1:2,
∴PC=2PB,
∴PA=4PB,
∴AB=3PB;
(3)
解:过点O作OH⊥AD于点H,则AH=AD=,四边形OCEH是矩形,
∴OC=HE,
∴AE=+OC,
∵OC∥AE,
∴△PCO∽△PEA,
∴,
∵AB=3PB,AB=2OB,
∴OB=PB,
∴=,
∴OC=,
∴AB=5,
∵△PBC∽△PCA,
∴,
∴AC=2BC,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
∴(2BC)2+BC2=52,
∴BC=,
∴AC=,
∴S△ABC=ACBC=5.
【解析】(1)首先连接OC,由PE是⊙O的切线,AE和过点C的切线互相垂直,可证得OC∥AE,又由OA=OC,易证得∠DAC=∠OAC,即可得AC平分∠BAD;
(2)由AB是⊙O的直径,PE是切线,可证得∠PCB=∠PAC,即可证得△PCB∽△PAC,然后由相似三角形的对应边成比例与PB:PC=1:2,即可求得答案;
(3)首先过点O作OH⊥AD于点H,则AH=AD=,四边形OCEH是矩形,即可得AE=+OC,由OC∥AE,可得△PCO∽△PEA,然后由相似三角形的对应边成比例,求得OC的长,再由△PBC∽△PCA,证得AC=2BC,然后在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2 , 可得(2BC)2+BC2=52 , 即可求得BC的长,继而求得答案.