Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a﹣b=bcosC．
（1）求证：sinC=tanB；
（2）若a=1，C为锐角，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由正弦定理可知： = = =2R，（R为外接圆半径），

a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

a﹣b=bcosC．则sinA﹣sinB=sinBcosC，

由A=π﹣（A+B），sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，

sinBcosC+cosBsinC﹣sinB=sinBcosC，

cosBsinC=sinB，tanB= ，

∴sinC=tanB

（2）解：由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣2a（a﹣b）=b2+2b﹣1=（b+1）2﹣2，

由a﹣b=bcosC．则b= = ，

由C为锐角，0＜cosC＜1，则 ＜b＜1，

由f（b）=（b+1）2﹣2，在（ ，1）上单调递增，

f（b）∈（ ，2），

∴ ＜c＜ ，

∴c的取值范围（ ， ）

【解析】（1）由正弦定理及sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，代入即可求得cosBsinC=sinB，即可证明sinC=tanB；（2）由余弦定理c2=（b+1）2﹣2，由C为锐角，0＜cosC＜1，则 ＜b＜1，根据函数的单调性即可求得c的取值范围．