Question

【题目】已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为 ． （Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换 后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0， ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3y2=0，整理，得（x﹣2）2+4y2=4，
∵直线l过点M（1，0），倾斜角为 ，
∴直线l的参数方程为 ，即 ，（t是参数）．
（Ⅱ）∵曲线C经过伸缩变换 后得到曲线C′，
∴曲线C′为：（x﹣2）2+y2=4，
把直线l的参数方程 ，（t是参数）代入曲线C′：（x﹣2）2+y2=4，得：
，
设A，B对应的参数分别为t1 ， t2 ， 则t1+t2= ，t1t2=﹣3，
∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= = = ．
【解析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程化为ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，由此能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l过点M（1，0），倾斜角为 ，能求出直线l的参数方程．（Ⅱ）由曲线C经过伸缩变换 后得到曲线C′，求出曲线C′为：（x﹣2）2+y2=4，把直线l的参数方程代入曲线C′，得： ，设A，B对应的参数分别为t1 ， t2 ， 则t1+t2= ，t1t2=﹣3，由此能求出|MA|+|MB|．