题目内容

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AD=AB=DC= BC=1,E是PC的中点,面PAC⊥面ABCD.
(Ⅰ)证明:ED∥面PAB;
(Ⅱ)若PC=2,PA= ,求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.

【答案】(Ⅰ)证明:取PB的中点F,连接AF,EF.
∵EF是△PBC的中位线,∴EF∥BC,且EF=
又AD=BC,且AD= ,∴AD∥EF且AD=EF,
则四边形ADEF是平行四边形.
∴DE∥AF,又DE面ABP,AF面ABP,
∴ED∥面PAB;
(Ⅱ)解:法一、取BC的中点M,连接AM,则AD∥MC且AD=MC,
∴四边形ADCM是平行四边形,
∴AM=MC=MB,则A在以BC为直径的圆上.
∴AB⊥AC,可得
过D作DG⊥AC于G,
∵平面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,
∴DG⊥平面PAC,则DG⊥PC.
过G作GH⊥PC于H,则PC⊥面GHD,连接DH,则PC⊥DH,
∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角.
在△ADC中, ,连接AE,
在Rt△GDH中,

即二面角A﹣PC﹣D的余弦值
法二、取BC的中点M,连接AM,则AD∥MC,且AD=MC.
∴四边形ADCM是平行四边形,
∴AM=MC=MB,则A在以BC为直径的圆上,
∴AB⊥AC.
∵面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,∴AB⊥面PAC.
如图以A为原点, 方向分别为x轴正方向,y轴正方向建立空间直角坐标系.
可得
设P(x,0,z),(z>0),依题意有
解得

设面PDC的一个法向量为
,取x0=1,得
为面PAC的一个法向量,且
设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ,
则有 ,即二面角A﹣PC﹣D的余弦值

【解析】(Ⅰ)取PB的中点F,连接AF,EF,由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形.得到DE∥AF,再由线面平行的判定可得ED∥面PAB;(Ⅱ)法一、取BC的中点M,连接AM,由题意证得A在以BC为直径的圆上,可得AB⊥AC,找出二面角A﹣PC﹣D的平面角.求解三角形可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值.法二、由题意证得AB⊥AC.又面PAC⊥平面ABCD,可得AB⊥面PAC.以A为原点, 方向分别为x轴正方向,y轴正方向建立空间直角坐标系.求出P的坐标,再求出平面PDC的一个法向量,由图可得 为面PAC的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值.

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