题目内容
【题目】已知函数f(x)=lnx﹣a(a∈R)与函数 有公共切线. (Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)若不等式xf(x)+e>2﹣a对于x>0的一切值恒成立,求a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ) ,
. ∵函数f(x)与F(x)有公共切线,∴函数f(x)与F(x)的图象相切或无交点.
当两函数图象相切时,设切点的横坐标为x0(x0>0),则 ,
解得x0=2或x0=﹣1(舍去),
则f(2)=F(2),得a=ln2﹣3,
由此求出a≥ln2﹣3,即a的取值范围为[ln2﹣3,+∞).
(Ⅱ)等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=xlnx+a+e﹣2﹣ax,
因为g'(x)=lnx+1﹣a,令g'(x)=0,得 ,
x | | | |
g'(x) | ﹣ | 0 | + |
g(x) | 极小值 |
所以g(x)的最小值为 ,
令 ,因为
,
令t'(x)=0,得x=1,且
x | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
t'(x) | + | 0 | ﹣ |
t(x) | 极大值 |
所以当a∈(0,1)时,g(x)的最小值 ,
当a∈[1,+∞)时,g(x)的最小值为 =t(2),
所以a∈[1,2].
综上得a的取值范围为(0,2]
【解析】.(Ⅰ) ,
.由函数f(x)与F(x)有公共切线,知函数f(x)与F(x)的图象相切或无交点.由此能求出a的取值范围(Ⅱ)等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,令g(x)=xlnx+a+e﹣2﹣ax,g'(x)=lnx+1﹣a,令g'(x)=0,得
,从而求出g(x)的最小值,令
,由
=0,得x=1,由此能求出a的取值范围.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

【题目】为了传承中华优秀传统文化,市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动,某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛,赛后对全体参赛学生的成绩进行整理,得到下列不完整的统计图表.
组别 | 分数段 | 频次 | 频率 |
A | 60≤x<70 | 17 | 0.17 |
B | 70≤x<80 | 30 | a |
C | 80≤x<90 | b | 0.45 |
D | 90≤x<100 | 8 | 0.08 |
请根据所给信息,解答以下问题:
(1)表中a= , b=;
(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数;
(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩,其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学,学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛,请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.
【题目】4月23人是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”,低于60分钟的学生称为“非读书谜”
(1)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关?
非读书迷 | 读书迷 | 合计 | |
男 | 15 | ||
女 | 45 | ||
合计 |
(2)将频率视为概率,现在从该校大量学生中,用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方程D(X) 附:K2= n=a+b+c+d
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |