Question

【题目】四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）

A.80°
B.90°
C.100°
D.130°

Answer 1

【答案】C
【解析】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=′MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+′MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD=130°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=50°M
∴∠AMN+∠NM=2×50°=100°．
故选C．

【考点精析】解答此题的关键在于理解轴对称-最短路线问题的相关知识，掌握已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．