Question

【题目】已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，现按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞ AC）作弧，两弧分别交于M，N两点；
②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；
③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F．

（1）请在图中直线标出点F并连接CF；
（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示：

（2）解：∵根据作图可知：MN垂直平分线段AC，

∴D、E为线段AB和AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE= BC，

∵将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的像为点F，

∴EF=ED，

∴DF=BC，

∵DE∥BC，

∴四边形BCFD是平行四边形

（3）解：当∠B=60°时，四边形BCFD是菱形；

∵∠B=60°，

∴BC= AB，

∵DB= AB，

∴DB=CB，

∵四边形BCFD是平行四边形，

∴四边形BCFD是菱形

【解析】（1）根据题意作出图形即可；（2）首先根据作图得到MN是AC的垂直平分线，然后得到DE等于BC的一半，从而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；（3）得到BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的判定和菱形的判定方法，掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形即可以解答此题．