Question

【题目】如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．

（1）求证：△BDE∽∠ADB；
（2）试判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，条件不变，若BC恰好是⊙O的直径，且AB=6，AC=8，求DF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵∠DAC=∠DBC，

∴∠DBC=∠BAD，

∵∠BDE=∠ADB，

∴△BDE∽∠ADB

（2）相切．

理由：如图1，连接OD，

∵∠BAD=∠DAC，

∴ = ，

∴OD⊥BC，

∵DF∥BC，

∴OD⊥DF，

∴DF与⊙O相切

（3）如图2，过点B作BH⊥AD于点H，连接OD，

则∠BH

D=90°，

∵BC是直径，

∴∠BAC=90°，

∴∠BHD=∠BAC，

∵∠BDH=∠C，

∴△BDH∽△BCA，

∴ = ，

∵AB=6，AC=8，

∴BC= =10，

∴OB=OD=5，

∴BD= =5 ，

∴ = ，

∴BH=3 ，

∴DH= =4 ，AH= =3 ，

∴AD=AH+DH=7 ，

∵DF与⊙O相切，

∴∠FDB=∠FAD，

∵∠F=∠F，

∴△FDB∽△FAD，

∴ = = = ，

∴AF= DF，BF= DF，

∴AB=AF﹣BF= DF﹣ DF=6，

解得：DF= ．

【解析】（1）由AD平分∠BAC，易得∠BAD=∠CAD=∠CBD，又由∠BDE是公共角，即可证得：△BDE∽∠ADB；（2）首先连接OD，由AD平分∠BAC，可得 = ，由垂径定理，即可判定OD⊥BC，又由BC∥DF，证得结论；（3）首先过点B作BH⊥AD于点H，连接OD，易证得△BDH∽△BCA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BH的长，继而求得AD的长，然后证得△FDB∽△FAD，又由相似的性质，求得答案．