题目内容
【题目】问题情境：如图①,在直角三角形ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC于点D,可知：∠BAD=∠C(不需要证明)；
(1)特例探究：如图②,∠MAN=90,射线AE在这个角的内部,点B.C在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明：△ABD≌△CAF；
(2)归纳证明：如图③,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF；
(3)拓展应用：如图④，在△ABC中，AB=AC，AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E.F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为18，求△ACF与△BDE的面积之和是多少?
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6.
【解析】
（1）求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根据AAS证△ABD≌△CAF即可；
（2）根据题意和三角形外角性质求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根据ASA证△BAE≌△CAF即可；
（3）求出△ABD的面积，根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即可得出答案.
（1）证明：如图②,∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF(AAS)；
（2）证明：如图③，∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，
∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△BAE和△CAF中，
∴△BAE≌△CAF(ASA)；
（3）如图④，∵△ABC的面积为18，CD=2BD，
∴△ABD的面积
，
由(2)可得△BAE≌△CAF，
即△BAE的面积=△ACF的面积，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△BAE与△BDE的面积之和，
即△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积6.
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