Question

如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．

小题1:求证：D是弧AE的中点；
小题2:求证：∠DAO＝∠B＋∠BAD；
小题3:若，且AC＝4，求CF的长．

Answer 1

小题1:证明:AC为圆O的直径,则∠AEC=90°.
∵OD∥BC.    ∴OD⊥AE.     ∴点D是弧AE的中点.(垂径定理) 
小题1:延长AD交BC于G,由⑴知AD=DE，∴∠ACD=∠GCD
∵AC是⊙O直径，∴CD⊥AG, 从而证得CA="CG"
∴∠CAG=∠AGC
又∵∠AGC=∠B+∠BAD ∴∠DAO=∠B+∠BAD
小题1:∵S_△AOD= S_△OCD, ∴S_△ADC="2" S_△OCD
△CEF∽△CDA
∴ 即 ，CF="2"

本题考查垂径定理的应用与相似三角形的性质。