Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-

m-4

8

x2+

2m-7

3

x+m2-6m+8经过原点O，点B（-2，n）在这条抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线y=-2x沿y轴向下平移b个单位后得到直线l，若直线l经过B点，求n、b的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标．

Answer 1

（1）∵拋物线y=-

m-4

8

x2+

2m-7

3

x+m2-6m+8经过原点，
∴m²-6m+8=0．
解得m₁=2，m₂=4．
由题意知m≠4，
∴m=2．
∴拋物线的解析式为y=

1

4

x2-x．

（2）∵点B（-2，n）在拋物线y=

1

4

x2-x上，
∴n=3．
∴B点的坐标为（-2，3）．
∵直线l的解析式为y=-2x-b，直线l经过B点，
∴3=-2（-2）-b．
∴b=1．

（3）∵拋物线y=

1

4

x2-x的对称轴为直线x=2，直线l的解析式为y=-2x-1，
∴拋物线y=

1

4

x2-x的对称轴与x轴的交点C的坐标为（2，0），
直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D（0，-1）、E（2，-5）．
过点B作BG⊥直线x=2于G，与y轴交于F．
则BG=4．
在Rt△BGC中，CB=

CG2+BG2

=5．
∵CE=5，∴CB=CE．
过点E作EH⊥y轴于H．
则点H的坐标为（0，-5）．
∵点F、D的坐标为F（0，3）、D（0，-1），
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°，
∵在△DFB和△DHE中

DF=DH ∠BFD=∠EHD BF=EH

∴△DFB≌△DHE（SAS）．
∴DB=DE．
∵PB=PE，
∴点P在直线CD上．
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点．
设直线CD的解析式为y=kx+a．
将D（0，-1）、C（2，0）代入，
得

a=-1 2k+a=0.

解得

a=-1 k= 1 2 .

∴直线CD的解析式为y=

1

2

x-1．
设点P的坐标为（x，

1

4

x2-x），
∴

1

2

x-1=

1

4

x2-x．
解得x1=3+

5

，x2=3-

5

．
∴y1=

1+ 5

2

，y2=

1- 5

2

．
∴点P的坐标为（3+

5

，

1+ 5

2

）或（3-

5

，

1- 5

2

）．