Question

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC=

1

2

OB=

1

2

×4=2，BC=OB•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴点B的坐标为（-2，-2

3

）；

（2）∵抛物线过原点O和点A、B，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx，
将A（4，0），B（-2．-2

3

）代入，得

16a+4b=0 4a-2b=-2 3

，
解得

a=- 3 6 b= 2 3 3

，
∴此抛物线的解析式为y=-

3

6

x²+

2 3

3

x

（3）存在，
如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），
①若OB=OP，
则2²+|y|²=4²，
解得y=±2

3

，
当y=2

3

时，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD=

PD

OP

=

3

2

，
∴∠P′OD=60°，
∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P′、O、B三点在同一直线上，
∴y=2

3

不符合题意，舍去，
∴点P的坐标为（2，-2

3

）
②若OB=PB，则4²+|y+2

3

|²=4²，
解得y=-2

3

，
故点P的坐标为（2，-2

3

），
③若OP=BP，则2²+|y|²=4²+|y+2

3

|²，
解得y=-2

3

，
故点P的坐标为（2，-2

3

），
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，-2

3

），