Question

如图：三角形ABC内接于圆O，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，延长AE交外接圆O于点D，连接BD，DC，且∠BCA=60°
（1）求∠BED的大小；
（2）证明：△BED为等边三角形；
（3）若∠ADC=30°，圆O的半径为r，求等边三角形BED的边长．

Answer 1

（1）∵∠BCA=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠BCA=180°-60°=120°，
∵∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，
∴∠ABE+∠BAE=

1

2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

×120°=60°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=60°；

（2）证明：∵∠BCA=60°，
∴∠ADB=∠BCA=60°，
∴∠DBE=180°-∠BED-∠ADB=180°-60°-60°=60°，
∴△BED为等边三角形；

（3）∵∠ADC=30°，∠ADB=60°，
∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∵∠BCA=60°，
∴∠ABC=90°-60°=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=15°，
∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=60°-15°=45°，
∴BD=BC•cos45°=2r•

2

2

=

2

r．
即等边△BED的边长为

2

r．