Question

如图，矩形ABCD中，P是线段AD上一动点，O为BD中点，PO的延长线交BC于Q。

（1）求证：四边形PDQB为平行四边形；
（2）若AD=8cm，AB=6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向D运动（不与D重合）。设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长，并求t为何值时，四边形PBQD是菱形。

Answer 1

（1）先根据矩形的性质可得∠PDO＝∠QBO，再结合对顶角相等O为BD中点，即可根据“AAS”证得△POD△QOB，则可得PO＝OQ，从而证得结论；（2）

试题分析：（1）先根据矩形的性质可得∠PDO＝∠QBO，再结合对顶角相等O为BD中点，即可根据“AAS”证得△POD△QOB，则可得PO＝OQ，从而证得结论；
（2）由PB＝PD＝8-t，在Rt△PAB中，根据勾股定理结合菱形的判定即可求得结果.
（1）在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠PDO＝∠QBO，又∠POD＝∠QOB
∵ O为BD中点，∴BO＝DO
∴△POD△QOB（AAS）
∴PO＝OQ，又BO＝OD
∴四边形PDQB为平行四边形；
（2）PD＝8-t，在平行四边形PBQD中，当PB＝PD时，平行四边形PBQD为菱形
∴PB＝PD＝8-t          
在Rt△PAB中，
解得:
答：当时，四边形PBQD为菱形.
点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，需要同学们熟练掌握特殊四边形的判定和性质.